有一天你路过俱乐部，听到有人在唱这首歌。俱乐部里有多少人？
斯穆里安对这个谜题的第一反应是：“这没法解决——信息不够。” 但随后，他独自站在接待区的角落里思考了大约五分钟，才自信地（当然，也是正确的）回答道：“二！”
我不会剧透答案——我会把这个谜题留给感兴趣的读者自己去解开。（提示： 哥伦比亚 电话号码列表 如果这首歌和俱乐部里任何其他质数的岛民一起唱，就会出现悖论！）我会指出，这首歌相当于一个更正式的构造，它包含一系列如下形式的句子：
句子 S 1 – S n中至少有一个是错误的。
句子 S 1 – S n中至少有两个是错误的。
这个故事的重点不是吹嘘自己难倒了一位著名的逻辑学家（即使只有五分钟），尽管我承认这件事（不仅难倒了斯穆里安，而且首先与他会面）仍然是我学术生涯中的亮点之一。
悖论
图片来源：弗朗西斯·麦克唐纳·麦克奈尔 (Frances MacDonald McNair) 1905 年作品《悖论》。通过Wikimedia Commons公开发布。
相反，这个故事以及它的核心谜题，阐明了为什么我认为悖论如此引人入胜，值得我投入大量的智力去探究。关于悖论为何如此重要，一个标准的说法是：尽管悖论本身有时很愚蠢，但它表明我们对某些基本哲学概念（就与K&K谜题相关的语义悖论而言，即真理）的理解存在严重缺陷。
它们受欢迎的另一个原因是它们非常有趣。这两个理由都足以促使人们深入思考悖论。但这并不是我发现它们如此引人入胜的真正原因。我发现悖论如此引人入胜的真正原因是，它们在数学上比标准解释（通常将悖论等同于某种循环的存在）所暗示的要复杂得多，因此在数学上也更加有趣。
素数俱乐部之谜表明，一组特定的句子是否自相矛盾可能取决于各种令人惊讶的数学性质，例如，该集合中的句子数量是偶数还是奇数，或者该集合中的句子数量是质数还是合数，或者各种更奇怪、更令人惊讶的条件。
其他例子表明一个结构或等价
的 K&K 故事）是否自相矛盾取决于该结构所涉及的指称关系（即，两个句子之间如果一个句子指称另一个句子则成立 手机号码 的关系）是否对称或是否及物。
另一种涉及无限多个句子的构造的悖论性，取决于构造中每个句子是否都以余有限个其他句子为指代（如果一个集合的补集是有限的，则该集合是余有限的）。而这仅仅是皮毛而已！
就越惊叹于产生悖论的数学条件有多么复杂：产生一个数学或语义悖论需要的条件远手机号码数据对本地生活服务平台的价值 不止循环性，而要准确描述其最低要求仍然难以回答。这就是我研究悖论的原因：它们惊人的数学复杂性和数学之美。幸运的是，我还有很多工作要做，还有很多复杂性和美感有待发现。
特色图片来源：丹·弗莱文 (Dan Flavin) 的“结构与清晰度”，照片由 SuperCar-RoadTrip 上传，CC by 2.0，通过flickr。